量子投影测量的数学原理与特性

1. 投影测量概述

在量子测量中，投影测量是一种基础且重要的测量方式。它对应着一种理想化的极限情况，即通过某种方式获取关于量子系统的完备知识，这种方式可以是直接相互作用、借助辅助系统相互作用，或者通过其他方式进行推断。

投影测量用厄米（自伴）投影算符 $\hat{\Pi}_j$ 来描述，其中 $j$ 表示测量可能出现的结果的编号。例如，在之前提到的斯特恩 - 盖拉赫（SG）装置的单粒子情况中，有两种可能的结果；而在双粒子情况中，则有四种可能的结果。

投影算符具有以下性质： - $\hat{\Pi} i \hat{\Pi}_j = \hat{\Pi}_i\delta {ij}$，这里的 $\delta_{ij}$ 是克罗内克（Kronecker）δ 函数，当 $i = j$ 时取值为 1，否则为 0。 - $\sum_{i} \hat{\Pi}_i = 1$，其中 1 表示单位算符。

假设一个量子态用狄拉克（Dirac）“右矢” $|\psi\rangle$ 表示，它处于希尔伯特空间中。当进行测量时，可能会有多个结果，结果 $j$ 出现的概率 $P_j$ 一般由下式给出： $P_j = \langle\psi|\hat{\Pi}_j^{\dagger} \hat{\Pi}_j|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{\Pi}_j|\psi\rangle$

由于投影算符是自伴的，并且投影算符的完备性关系（$\sum_{i} \hat{\Pi} i = 1$）意味着，只要态 $|\psi\rangle$ 是正确归一化的，概率分布 $P